如果問數(shù)學(xué)界近幾十年最重要的成果是什么，那依我看，非費(fèi)馬大定理獲證不可。在費(fèi)馬提出這個(gè)問題三百多年后的1994年，來自英國的數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯（andrew wiles）一錘定音，最終徹底解決了該問題。能見證這樣的盛事，可謂我輩之幸。
業(yè)余數(shù)學(xué)之王—費(fèi)馬
費(fèi)馬(1601-1665)出生于法國西南的一個(gè)小鎮(zhèn)，父親是當(dāng)?shù)馗辉５钠じ锷倘恕?yōu)越的家庭條件使得費(fèi)馬從**接受了良好的教育，但和牛頓一樣，少年時(shí)代的費(fèi)馬并未顯露出有什么數(shù)學(xué)天賦。之后迫于父親的要求，費(fèi)馬走上了仕途，當(dāng)了一名政府文官，而且還成為了一位成功的律師。
在費(fèi)馬的時(shí)代，數(shù)學(xué)家不是什么“正經(jīng)”職業(yè)，或者說不是專門的職業(yè)，絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)家都是業(yè)余的，他們同時(shí)也或多或少干著其他的工作，研究數(shù)學(xué)只是業(yè)余的愛好。而費(fèi)馬就是其中一個(gè)最為突出的業(yè)余數(shù)學(xué)狂熱愛好者。從來沒有記載指出費(fèi)馬到底受了當(dāng)時(shí)哪些數(shù)學(xué)家的影響，但可以肯定的是，丟番圖的《算術(shù)》一書必定對(duì)費(fèi)馬的數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了深刻影響。
1637年左右，在研究《算術(shù)》第二卷的時(shí)候，費(fèi)馬被畢達(dá)哥拉斯方程(我國俗稱的勾股方程:x^2+y^2＝z^2)有無窮多個(gè)整數(shù)解這個(gè)現(xiàn)象所吸引，但雄心勃勃的費(fèi)馬決心搞點(diǎn)比古希臘人高明的東西出來，于是他把方程的冪提高到3，一番苦苦思索之后，費(fèi)馬并沒有得到整數(shù)解，而他還不滿足于此，繼續(xù)思考如果冪次更高是否也無解呢？費(fèi)馬把他思考的結(jié)果寫在了這本書靠近第八個(gè)問題的空白處:
“不可能將一個(gè)立方數(shù)寫出兩個(gè)立方數(shù)之和；或者將一個(gè)4次冪寫出兩個(gè)4次冪之和；或者，總的來說，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同樣次冪的和”。
用數(shù)學(xué)語言描述出來就是:
方程x^n+y^n＝z^n當(dāng)n≥3且為整數(shù)時(shí)無整數(shù)解。
費(fèi)馬還不滿足于此，他還在自己的結(jié)論旁邊加了一句:我有一個(gè)對(duì)這個(gè)命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下！到底費(fèi)馬是真的有了證明還是惡作劇已經(jīng)無從考證，但以現(xiàn)在數(shù)學(xué)家的眼光來看，費(fèi)馬吹牛的可能性更大。
由于費(fèi)馬與當(dāng)時(shí)歐洲大陸的數(shù)學(xué)中心-巴黎老死不相往來，他的著作也不為人知，所謂的“費(fèi)馬大定理”也從未公開發(fā)表過。所幸，費(fèi)馬有一位好兒子，若不是因?yàn)橘M(fèi)馬兒子的努力，費(fèi)馬的發(fā)現(xiàn)恐怕將永遠(yuǎn)石沉大海。費(fèi)馬的長子，塞繆爾決心不讓父親的研究失去應(yīng)有的價(jià)值，他花了5年時(shí)間來仔細(xì)整理父親的各種筆記信件，最終將費(fèi)馬的各種著作結(jié)集出版。于是，一個(gè)困擾了整個(gè)人類三百多年的巨大難題便出現(xiàn)在了我們眼前。
希望還是絕望？
歐拉(1707-1783)是第一個(gè)在費(fèi)馬之后認(rèn)真思考過這個(gè)問題的大數(shù)學(xué)家。費(fèi)馬本人利用“無窮遞降法”曾給出了這個(gè)問題在n＝4時(shí)無解的證明，歐拉思考過后給出了n＝3時(shí)的證明。由于可以使用同樣的方法，實(shí)際上這也自動(dòng)證明了n為所有3或4點(diǎn)倍數(shù)時(shí)的證明。歐拉也指出，由于所有整數(shù)都可以表示成一些素?cái)?shù)的乘積，所以只需要證明n為素?cái)?shù)的情形即可。一時(shí)間數(shù)學(xué)界為之振奮，似乎問題的解決已經(jīng)指日可待。然而直至歐拉逝世，對(duì)這個(gè)問題的解決也毫無進(jìn)展。一時(shí)間，數(shù)學(xué)家對(duì)費(fèi)馬大定理的熱情又沉寂了下來。
到19世紀(jì)初，費(fèi)馬大定理毫無懸念地已經(jīng)成為了數(shù)論中最出名的問題。而再次使得這個(gè)問題活躍起來的確實(shí)著名的“索菲·熱爾曼”(1776-1831）。熱爾曼出生于**時(shí)期法國的一個(gè)商人家庭，阿基米德的故事讓她對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，于是自學(xué)起了微積分和數(shù)論。越學(xué)越沉迷，不就之后她便不分晝夜全身心投入到了數(shù)學(xué)之中。
1794年，巴黎綜合工科大學(xué)拔地而起。熱爾曼為實(shí)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)理想找到了一個(gè)合適的地方，然而學(xué)校卻不招收女學(xué)生。然而她卻毫無退縮之意，竟然冒充一位已經(jīng)逃學(xué)的名叫“勒布朗”的男學(xué)生然后偷偷摸摸地在學(xué)校學(xué)習(xí)。不久之后，她在習(xí)題中所表現(xiàn)出來的卓越才華已經(jīng)和之前真正的勒布朗槽糕透頂?shù)臄?shù)學(xué)能力一樣出名。作為課程的老師，拉格朗日(1736-1813)早已按捺不住心中的興奮和激動(dòng)，親自找到了這位“勒布朗先生”。得知了熱爾曼的真實(shí)身份，拉格朗日更加激動(dòng)，從此之后非常熱情地指導(dǎo)起了這位得意門生。
對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越來越有信心的熱爾曼逐漸把注意力轉(zhuǎn)移到了數(shù)論上，精力十分旺盛的她還找到了高斯(1777-1855)進(jìn)行討論。對(duì)于費(fèi)馬大定理的解決，熱爾曼提出了新的策略:一次就驗(yàn)證一類數(shù)的情形，也就那些使得(2p＋1)也為素?cái)?shù)的素?cái)?shù)p。她向高斯展示了自己的“大概”計(jì)算，但并沒有證明，但這種想法卻極大地激發(fā)了數(shù)學(xué)家門的靈感，數(shù)學(xué)界對(duì)費(fèi)馬大定理又重新燃起了**。
1825年，狄利克雷(1805-1859)和勒讓德(1752-1833)在熱爾曼工作的基礎(chǔ)上，得到了n為5時(shí)的證明。14之后，法國數(shù)學(xué)家拉梅(1795-1870)在一番改進(jìn)之后，又證明了n為7的情形。當(dāng)然，這些工作都是在熱爾曼的基礎(chǔ)上完成的。在那個(gè)女性并不受科學(xué)界待見的年代，熱爾曼憑借頑強(qiáng)的毅力和驚人的才華讓我們看到了女性也可以在科學(xué)探索上占有一席之地，十分令人贊嘆和尊敬！
不久后，法國科學(xué)院以金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)潞?000法郎懸賞費(fèi)馬大定理的證明。拉梅和柯西(1789-1857)在此期間明爭(zhēng)暗斗，相繼發(fā)表了自己的證明，然而均含糊不清，但眾人又難以說出有什么問題。眾人還意猶未盡之后的一個(gè)月后，劉維爾(1809-1882)突然宣讀了德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺?1810-1893)的來信，可謂一石激起千層浪。
拿破侖政府的入侵給年幼的庫默爾造成了極大的心理創(chuàng)傷，大學(xué)畢業(yè)后的他決心研究軍事科學(xué)，不再讓自己的祖國再遭受磨難。但同時(shí)，庫默爾也積極地研究自己熱愛的數(shù)學(xué)。
庫默爾雖遠(yuǎn)在德國，但對(duì)法國科學(xué)院最近有關(guān)費(fèi)馬大定理的爭(zhēng)論打聽得一清二楚，也仔細(xì)讀了拉梅和柯西的證明。最為當(dāng)時(shí)最卓越的數(shù)論學(xué)家，他馬上就看出了問題所在。拉梅和柯西二人的證明都依賴于算術(shù)基本定理:自然數(shù)都可以表示為一些素?cái)?shù)的乘積，如果不計(jì)次序，這樣的分解還是唯一的。分解的唯一性正是二人證明的關(guān)鍵。然而證明并不完全是限制在實(shí)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行的，因此唯一性便也不再成立，例如12＝(1+√-11)(1-√-11)＝(2+√-10)(2-√-10)。庫默爾的來信一下子使眾人泄了氣，希望再次成了絕望。庫默爾不僅打擊了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家，也使得后來者望而卻步，之后長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)之內(nèi)，費(fèi)馬大定理被塵封了起來。
曙光:谷山-志村猜想
戰(zhàn)后的日本滿目瘡痍，但有兩位年輕人卻仍執(zhí)著地沉迷于數(shù)學(xué)之中，他們就是志村五郎(1930-)和谷山豐(1927-1958)。1954年，兩人因共同探討一篇**而結(jié)識(shí)，誰也沒想到，當(dāng)時(shí)名不見經(jīng)傳的二人將會(huì)在費(fèi)馬大定理上留下濃墨重彩的一筆。
模形式是數(shù)學(xué)中非常復(fù)雜而深刻的內(nèi)容，簡(jiǎn)單來說，它研究的是在特定的變換之下保持某些性質(zhì)不變的解析函數(shù)。1955年，一場(chǎng)國際學(xué)術(shù)研討會(huì)在東京舉辦，會(huì)上，志村五郎和谷山豐提出了猜想:橢圓方程的e-序列對(duì)應(yīng)于一個(gè)特定的模形式的m-序列并完全相等，也就是說，每一個(gè)橢圓非常都對(duì)應(yīng)一個(gè)模形式。如果猜想成立，那看似毫無關(guān)系的兩個(gè)東西都產(chǎn)生了深刻的聯(lián)系。然而當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界卻似乎沒有意識(shí)到它的重要性。
而頑強(qiáng)的二人決意繼續(xù)將研究進(jìn)行下去。1957年，志村應(yīng)邀前往普林斯頓進(jìn)行為期兩年的客座教授之旅，并打算回來之后繼續(xù)與谷山合作研究。然而噩耗突至:谷山在1958年11月17日自殺身亡，隨他前去的還有他的未婚妻。由于事發(fā)突然，沒有人知道期間的具體真實(shí)原因，留下的只有無盡的遺憾和惋惜。
直到當(dāng)時(shí)的領(lǐng)袖級(jí)數(shù)學(xué)家韋依肯定這個(gè)猜想之后，谷山-志村猜想才進(jìn)入主流數(shù)學(xué)家的視野中。
轉(zhuǎn)機(jī)和突破出現(xiàn)在1984年。一場(chǎng)在德國舉辦的研討會(huì)上，frey提出論斷:如果谷山-志村猜想成立，那么費(fèi)馬大定理就成立！但他本人的證明卻并不完整。一石激起千層浪，在場(chǎng)的聽眾全都發(fā)了瘋一樣的沖向打印室，迫不及待地要獲得一份frey的報(bào)告，好回去之后仔細(xì)探究以便能彌補(bǔ)他的不足。
差不多兩年之后，來自加州伯克利的里貝特已經(jīng)完成了證明，但他自己卻還沒意識(shí)到。在梅修爾的提醒之下，他才意識(shí)到自己已經(jīng)完成了證明！然而費(fèi)馬大定理的證明似乎還遙遙無期，因?yàn)楣壬?志村猜想還橫亙?cè)跀?shù)學(xué)家面前。
“我想我就在這里結(jié)束”—懷爾斯
懷爾斯1953年出生于英國劍橋，父親是一名工程學(xué)教授。10歲的時(shí)候，他偶然在一本書中了解到了費(fèi)馬大定理的奧妙，并悄然在心中埋下了探索的種子。1974年本科畢業(yè)于牛津大學(xué)后，來到劍橋大學(xué)開始他的研究生學(xué)習(xí)，在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行橢圓方程和曲線研究，博士畢業(yè)后來到普林斯頓工作。
1986年聽聞里貝特證明了frey的猜想以后，改變懷爾斯一生的時(shí)刻到來了，實(shí)現(xiàn)他兒時(shí)夢(mèng)想的機(jī)會(huì)來了，他已下定決心，所必須做的一切就是要證明谷山-志村猜想。但包括他導(dǎo)師在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)家都相信這將無功而返，但懷爾斯卻堅(jiān)持去追求自己的夢(mèng)想。
懷爾斯拋棄了一切和證明費(fèi)馬大定理無直接關(guān)系的事情，就這樣將自己關(guān)在普林斯頓的閣樓中，全身心投入了探索之中，除了他的妻子之外，沒有人知道他的這個(gè)秘密。
1988年，日本數(shù)學(xué)家宮岡洋一宣稱已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了費(fèi)馬大定理的解法，這對(duì)懷爾斯來說是個(gè)不小的打擊。幾經(jīng)周折，這個(gè)證明及其改進(jìn)被發(fā)現(xiàn)都是錯(cuò)誤的，懷爾斯終于松了一口氣。
經(jīng)過三年的艱苦探索，懷爾斯已經(jīng)證明:每個(gè)橢圓方程拆解成無窮多項(xiàng)后的第一項(xiàng)必定是某個(gè)模形式的第一項(xiàng)。對(duì)于高高在上的谷山-志村猜想來說，這已經(jīng)是邁出的一大步了。接下來，他開始研究分析橢圓方程的巖澤理論。然而到了1991年，他覺得自己對(duì)這種方法的改進(jìn)失敗了。
隱居五年之后，他來到波士頓參加一個(gè)橢圓方程的會(huì)議。這時(shí)他原來的導(dǎo)師柯茨告訴他，一個(gè)名叫弗萊切的學(xué)生正在寫一篇分析橢圓方程的精彩文章，用的是新進(jìn)由科利瓦金提出的方法。懷爾斯突然意識(shí)到，這正是自己所需的東西！回到普林斯頓之后，懷爾斯開始了改進(jìn)這種方法的艱巨任務(wù)，但似乎已經(jīng)勝利在望。
1993年，懷爾斯再也按捺不住自己心中的秘密，向同事凱茲透露了自己心中壓抑已久的秘密。之后他便再次投入了研究之中。5月的一天，全神貫注的懷爾斯甚至忘記了吃午飯，但當(dāng)他放下手中的筆時(shí)，激動(dòng)人心的時(shí)刻到來了，懷爾斯已確信自己證明了谷山-志村猜想，從而證明了費(fèi)馬大定理！
懷爾斯決心在劍橋舉辦的會(huì)議上報(bào)告他的成果。數(shù)學(xué)界關(guān)于他要宣讀大成果的傳聞不脛而走，數(shù)學(xué)家門蜂擁而至，擠滿了報(bào)告廳，剩下的人仍不放棄，擠在走廊上也要聽。由于內(nèi)容太多，懷爾斯做了三次報(bào)告才講完。他宣布自己完成了證明時(shí)，他說:“我想我就在這里結(jié)束”，迎接這一歷史性時(shí)刻的是經(jīng)久不絕而雷鳴般的掌聲。
插曲和終章
懷爾斯的世紀(jì)證明很快交由專家組驗(yàn)證，但晴天霹靂也隨之而來，懷爾斯的第一位聽眾凱茲發(fā)現(xiàn)了一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤，但此時(shí)全世界早已鋪天蓋地地報(bào)道懷爾斯已經(jīng)證明了費(fèi)馬大定理，這給他帶來了巨大的壓力。專家組決心給他保守秘密，留出改正的時(shí)間。然而證明中的錯(cuò)誤被發(fā)現(xiàn)越來越多，秘密也守不住了，懷爾斯很可能會(huì)上演幾年之前宮岡的悲劇。但輿論的壓力不能使懷爾斯屈服，他斷然拒絕公開自己的手稿，這可是七年日復(fù)一日思考的成果！
懷爾斯找來了自己的學(xué)生泰勒，決定要殊死一搏，改正證明中的錯(cuò)誤。又經(jīng)過艱苦卓絕的工作，他們發(fā)現(xiàn)之前懷爾斯已經(jīng)放棄的巖澤理論恰恰可以彌補(bǔ)證明中的錯(cuò)誤！1994年9月19日，8年來所有的辛苦在這一天得到了它應(yīng)有的回報(bào)。他們將成果寫成了兩篇總共130頁的**，并且經(jīng)受住了嚴(yán)苛的驗(yàn)證，于1995年5月發(fā)表在數(shù)學(xué)四大期刊之一的《數(shù)學(xué)年刊》上。懷爾斯也因此榮獲菲爾茲特別獎(jiǎng)(由于年齡已超40，遺憾未或菲爾茲將)和沃爾夫以及阿貝爾獎(jiǎng)。
自此，長達(dá)三個(gè)多世紀(jì)的對(duì)費(fèi)馬大定理的探索畫上了圓滿的句號(hào)。這份無上榮耀屬于每一個(gè)為此付出過努力的數(shù)學(xué)家！
本文轉(zhuǎn)自** 數(shù)學(xué)maths。
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